Time-homogenization of a first order system arising in the modelling of the dynamics of dislocation densities

In this Note we are interested in the dynamics of dislocation densities in a material submitted to a time periodic stress. The dislocation densities solve a set of two coupled first order equations of Burgers’ type. Our main aim is to give a description of the long time behaviour of those densities. By an homogenization procedure in the framework of viscosity solutions, we obtain that at the limit, the dislocation densities fulfills a single diffusion equation. To cite this article: A. Briani, R. Monneau, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 340 (2005). Résumé Homogénéisation en temps d’un système du premier ordre intervenant dans la modélisation de la dynamique de densités de dislocations. Dans cette Note, on s’intéresse à la dynamique de densités de dislocations dans un materiau soumis à un cisaillement périodique en temps. Ces densités sont solutions de deux équations couplées du premier ordre de type Burgers. Notre but est de décrire le comportement en temps long de ces densités. Nous développons une technique d’homogénéisation dans le cadre des solutions de viscosités, qui permet d’établir qu’à la limite les densités de dislocations sont solutions d’une seule équation de diffusion quasi-linéaire. Pour citer cet article : A. Briani, R. Monneau, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 340 (2005). Email addresses: [email protected] (Ariela Briani), [email protected] (Régis Monneau). Preprint submitted to the Académie des sciences 5 novembre 2008 ha l-0 03 39 92 1, v er si on 1 19 N ov 2 00 8 Version française abrégée Les dislocations sont des défauts dans les cristaux qui bougent sous l’action d’une force extérieure. Elles sont considérées comme la principale explication à l’échelle microscopique de la plasticité des métaux. Dans [5], Groma et Balogh ont introduit un modéle 2D pour décrire la dynamique de densités de dislocations. Ce système peut être réduit, sous certaines hypothèses géométriques, à un système 1D de deux équations non locales de type transport (voir l’équation (1.1) dans [3]). Ici on considère une version locale simplifiée et mise à l’échelle :